【ｱｸ】ｴﾛｹﾞｰ、阪神などはｵﾚに聞け沖ノ鳥島4【禁】

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986:カッパだよ 06/01 02:03
【問題】
各桁の数字が異なり, どれも 0 でないような三桁の正の整数 n がある。
n の各数字を並べて出来る六つの数の最大公約数を g とする。
g として考えられる最大の数を求めよ。

【正解】
18【解説】
n = 100a + 10b + c, 9 ≧ a > b > c > 0, 整数, とする。
9(b - c) と 9(a - b) も g の倍数であることが分かるから, 9h という数が GCD になり得る。
そこで b - c と a - b の最大公約数 h の可能性を考える。
h = 4 であるとすると (a, b, c) = (9, 5, 1) しかないが, 9 + 5 + 1 = 15 は 9 の概数とはならないので, 不適。
h = 3 であるとすると, 候補は (a, b, c) = (9, 6, 3), (8, 5, 2), (7, 4, 1) となり, 9 の倍数は (9. 6. 3) だけだが,
369 = 9・41 で 9・3 の倍数になっていない。
今度は h = 2 とすると, (a, b, c) = (9, 7, 5), (9. 7. 3)., (9, 7, 1), (9, 5, 3), (9, 5, 1), (9, 3, 1), (8, 6, 4), (8, 6, 2), (8, 4, 2),
(7, 5, 3), (7, 5, 1), (7, 3, 1), (6. 4. 2), (5, 3, 1) となるが, 9 の倍数であるのは (8, 6, 4) と (5, 3, 1) で,
前者の GCD が 18, 後者のそれは 9. で, 前者のみが適。

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